22.8.2015 Anna Salonen
PINTA-ALAT AVARUUSGEOMETRIA
1. LIERIÖT
Lieriöllä tarkoitetaan avaruuskappaletta jonka pohjat ovat yhtenevät (samanlaiset) ja niitä yhdistää vaippa. Lieriöitä ovat mm. kuutio, suorakulmainen särmiö ja suora ympyrälieriö.
Lieriötä, jonka pohja on monikulmio sanotaan särmiöksi.
Linkki: Opetus.tv
Lieriöllä tarkoitetaan avaruuskappaletta jonka pohjat ovat yhtenevät (samanlaiset) ja niitä yhdistää vaippa. Lieriöitä ovat mm. kuutio, suorakulmainen särmiö ja suora ympyrälieriö.
Lieriötä, jonka pohja on monikulmio sanotaan särmiöksi.
Linkki: Opetus.tv
Kuution kaikkien
särmien pituus on a.
Pinta muodostuu kuudesta (6) a x a - kokoisesta tahkosta (neliöitä). Kokonaispinta-ala siis
Pinta muodostuu kuudesta (6) a x a - kokoisesta tahkosta (neliöitä). Kokonaispinta-ala siis
Esimerkki: Kuution
särmän pituus on 30,0 cm. laske kuution kokonaispinta-ala.
A = 6 x 30,0^2 = 5400 cm2 = 0,54m2
A = 6 x 30,0^2 = 5400 cm2 = 0,54m2
Erisuuntaisten
särmien pituudet ovat a, b ja c. Erisuuntaiset särmät ovat kohtisuorassa
toisiaan vastaan. Kuutio (edellä) onkin poikkeustapaus suorakulmaisesta
särmiöstä.
Pinta koostuu kuudesta tahkosta (suorakulmiosta), joista aina kaksi on samanlaisia.
Pinta koostuu kuudesta tahkosta (suorakulmiosta), joista aina kaksi on samanlaisia.
Esimerkki: Suorakulmaisen särmiön muotoisen kappaleen mitat ovat 20cm x 10cm x
12cm. Laske särmiön kokonaispinta-ala.
Nyt erisuuntaisten särmien pituudet ovat a = 20cm , b = 10cm ja c = 12cm
Pinta koostuu siis kahdesta 20cm x 10cm suorakulmiosta,
kahdesta 20cm x 12cm suorakulmiosta ja
kahdesta 10cm x 12cm suorakulmiosta.
A =( 2 x 20 x 10) + (2 x 20 x 12) + (2 x 10 x 12) = 1120cm2 ≈ 0,11m2
Nyt erisuuntaisten särmien pituudet ovat a = 20cm , b = 10cm ja c = 12cm
Pinta koostuu siis kahdesta 20cm x 10cm suorakulmiosta,
kahdesta 20cm x 12cm suorakulmiosta ja
kahdesta 10cm x 12cm suorakulmiosta.
A =( 2 x 20 x 10) + (2 x 20 x 12) + (2 x 10 x 12) = 1120cm2 ≈ 0,11m2
Suora ympyrälieriö
Suoran ympyrälieriön pohja on ympyrä. ympyrälieriötä sanotaan suoraksi, kun pohjat ovat ”kohdakkain”.
Suoran ympyrälieriön pohja on ympyrä. ympyrälieriötä sanotaan suoraksi, kun pohjat ovat ”kohdakkain”.
Vaippa on avattuna suorakulmio, jonka korkeus on h ja
kanta 2πr. Vaipan pinta-ala on siis
Kokonaispinta-alaan lisätään vielä pohjaympyrät
2 kpl (yhden ympyrän ala πr^2)
ESIMERKKI: Laske suoran ympyrälieriön muotoisen kappaleen vaipan ala, kun pohjan halkaisija on 30,0cm ja korkeus 40,0cm.
Pinta-alaa varten tarvitaan pohjan säde r ja korkeus h
Säde on puolet halkaisjasta. nyt siis 30,0cm/2 = 15,0 cm
Vaipan ala lasketaan kaavalla 2πrh eli
A = 2 x π x 15,0cm x 40,0cm = 3770 cm^2 = 0,377m^2
2. KARTIOT
Kartioita ovat mm. suora ympyräkartio ja pyramidit. Avaruuskappaleessa on yksi pohja ja terävä huippu, joita yhdistää vaippa.
Kartio on suora, jos korkeusjana osuu kartion pohjan keskipisteeseen.
Linkki: Opetus.tv
Suora ympyräkartio
(kuva: http://opinnot.net/kokonaisuudet/index.php?id_kokon=32&kieli_id=1&taso_kokon=0&oppiaine_kokon=2 )
ESIMERKKI: Laske suoran ympyrälieriön muotoisen kappaleen vaipan ala, kun pohjan halkaisija on 30,0cm ja korkeus 40,0cm.
Pinta-alaa varten tarvitaan pohjan säde r ja korkeus h
Säde on puolet halkaisjasta. nyt siis 30,0cm/2 = 15,0 cm
Vaipan ala lasketaan kaavalla 2πrh eli
A = 2 x π x 15,0cm x 40,0cm = 3770 cm^2 = 0,377m^2
2. KARTIOT
Kartioita ovat mm. suora ympyräkartio ja pyramidit. Avaruuskappaleessa on yksi pohja ja terävä huippu, joita yhdistää vaippa.
Kartio on suora, jos korkeusjana osuu kartion pohjan keskipisteeseen.
Linkki: Opetus.tv
Suora ympyräkartio
(kuva: http://opinnot.net/kokonaisuudet/index.php?id_kokon=32&kieli_id=1&taso_kokon=0&oppiaine_kokon=2 )
Kartion
vaippa on ympyräsektori, jonka kaaren pituus on pohjaympyrän piiri 2πr.
kaava juontuu lopulta muotoon
kaava juontuu lopulta muotoon
Kokonaispinta-alaan
lisätään vielä pohjaympyrän ala.
Esimerkki: Suoran ympyräkartion pohjan säde on 30,0cm sivujanan pituus on 50,0cm ja korkeus 40,0cm. Laske kappaleen kokonaispinta-ala.
Kokonaispinta-alaa varten pitää laskea erikseen vaipan ala ja pohjaympyrän ala:
Vaippa: A = πrs = π x 30,0cm x 50,0cm = 4712cm^2
Pohjaympyrä: A = πr^2 = π x 30,0^2 = 2827cm^2
Kokonaispinta-ala: 4712cm^2 + 2827cm^2 = 7539cm^2 = 0,75m^2
Pallo
Pallon keskipisteen etäisyys pallon pinnasta on säteen r mittainen.
Linkki: Opetus.tv
Esimerkki: Suoran ympyräkartion pohjan säde on 30,0cm sivujanan pituus on 50,0cm ja korkeus 40,0cm. Laske kappaleen kokonaispinta-ala.
Kokonaispinta-alaa varten pitää laskea erikseen vaipan ala ja pohjaympyrän ala:
Vaippa: A = πrs = π x 30,0cm x 50,0cm = 4712cm^2
Pohjaympyrä: A = πr^2 = π x 30,0^2 = 2827cm^2
Kokonaispinta-ala: 4712cm^2 + 2827cm^2 = 7539cm^2 = 0,75m^2
Pallo
Pallon keskipisteen etäisyys pallon pinnasta on säteen r mittainen.
Linkki: Opetus.tv
ESIMERKKI: Pallon
muotoisen kappaleen halkaisija on 50,0cm. Laske pallon pinta-ala.
Pinta-alan laskemista varten tarvitaan pallon säde, joka on puolet halkaisjasta.
Säde: 50,0cm /2 = 25,0 cm
Pinta-ala: A = 4πr^2 = 4 x π x 25,0^2 = 7854cm^2 = 0,785m^2
ESIMERKKI: Kuinka paljon edellisen esimerkin pinnan maalaamiseen kuluu maalia, jonka teoreettinen riittoisuus on 13m^2 / litra.
LITRALLA maalia siis maalaa noin 13 neliömetriä.
Kyseinen pinta on vajaa yhden neliömetrin. Tarvittava määrä on lähes 1/13 litrasta.
0,785m^2 / (13m^2/l) = 0,06 litraa = 0,6 dl
Pinta-alan laskemista varten tarvitaan pallon säde, joka on puolet halkaisjasta.
Säde: 50,0cm /2 = 25,0 cm
Pinta-ala: A = 4πr^2 = 4 x π x 25,0^2 = 7854cm^2 = 0,785m^2
ESIMERKKI: Kuinka paljon edellisen esimerkin pinnan maalaamiseen kuluu maalia, jonka teoreettinen riittoisuus on 13m^2 / litra.
LITRALLA maalia siis maalaa noin 13 neliömetriä.
Kyseinen pinta on vajaa yhden neliömetrin. Tarvittava määrä on lähes 1/13 litrasta.
0,785m^2 / (13m^2/l) = 0,06 litraa = 0,6 dl